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Physique-ChimieTerminale🚀 Thème 2Chapitre 11Démonstration🔴 Essentiel

Établir les équations horaires et la trajectoire d'un projectile en chute libre

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1.Objectif

Obtenir x(t), y(t) puis l'équation y(x) de la trajectoire d'un objet lancé avec une vitesse v₀ faisant un angle α avec l'horizontale.

2.Prérequis

  • Deuxième loi de Newton
  • Primitives d'une constante et d'une fonction affine
  • Projection d'un vecteur sur des axes

3.Situation physique

Un objet de masse m est lancé depuis l'origine O à t = 0 avec une vitesse v⃗₀ dans le plan (Ox horizontal, Oy vertical vers le haut). On étudie son mouvement dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Mouvement parabolique
x (m)y (m)48111519​v→₀​g→​

Portée 22,9 m · hauteur max 5,7 m · durée du vol 2,16 s (g = 9,81 m·s⁻², sans frottements)

Règle v₀ et α : la portée et la hauteur maximale se recalculent.

4.Démonstration étape par étape

Étape 1

Système, référentiel, bilan des forces

On néglige les frottements et la poussée d'Archimède : c'est l'hypothèse de chute libre. La seule force est le poids.

ΣF⃗ = P⃗ = m·g⃗

Étape 2

Deuxième loi de Newton

Dans le référentiel terrestre galiléen, ΣF⃗ = m·a⃗. La masse se simplifie : l'accélération ne dépend pas de m.

m·a⃗ = m·g⃗ ⇒ a⃗ = g⃗
ax = 0 ; ay = −g

Étape 3

Vitesse

La vitesse est une primitive de l'accélération ; les constantes viennent de v⃗(0) = v⃗₀.

vx(t) = v₀cos α
vy(t) = −g·t + v₀sin α

Étape 4

Position

La position est une primitive de la vitesse ; les constantes sont nulles car l'objet part de O.

x(t) = v₀cos α · t
y(t) = −½g·t² + v₀sin α · t

Étape 5

Équation de la trajectoire

On élimine le temps : t = x / (v₀cos α), puis on remplace dans y(t).

y(x) = −g·x²2v₀²cos²α + tan α · x

5.Interprétation physique

Horizontalement, rien ne freine l'objet : sa vitesse horizontale reste constante. Verticalement, la pesanteur réduit puis inverse la vitesse. La combinaison donne une parabole, indépendante de la masse.

6.Résultat final

x(t) = v₀cos α · t ; y(t) = −½g t² + v₀sin α · t
y(x) = −g x²2v₀²cos²α + x·tan α

7.Conditions de validité

  • Frottements et poussée d'Archimède négligés (chute libre)
  • Champ de pesanteur uniforme
  • Référentiel terrestre supposé galiléen
  • Axe Oy orienté vers le haut, départ en O

8.Erreurs fréquentes

  • Oublier le signe − de ay quand Oy est vers le haut.
  • Inverser sin et cos dans les composantes de v⃗₀.
  • Oublier les conditions initiales lors des primitives.
  • Dire que l'objet « lourd » tombe plus vite : m se simplifie.

9.À retenir

  • ✓ Chute libre : a⃗ = g⃗.
  • ✓ Mouvement uniforme sur Ox, uniformément varié sur Oy.
  • ✓ Trajectoire parabolique, indépendante de m.

10.Mini-vérification

Pourquoi la masse disparaît-elle ?

Elle apparaît des deux côtés de m·a⃗ = m·g⃗.

Que vaut vy au sommet ?

0 : la vitesse est horizontale au sommet.

Quelle hypothèse définit la chute libre ?

Le poids est la seule force (frottements et poussée négligés).

Exercices associés

10 exercices corrigés du chapitre 11 pour t'entraîner.

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Sources : Programme officiel de Terminale spécialité Physique-Chimie (Éduscol). Contenu reformulé pour Phylo.