Chapitre 10 — La description du mouvement et la deuxième loi de Newton
Vecteurs vitesse et accélération, repère de Frenet et deuxième loi de Newton.
Progression du chapitre
0 / 8 parties terminées
1Introduction
Ce que tu vas apprendre. Tu vas décrire un mouvement avec les vecteurs position, vitesse et accélération, puis relier l'accélération aux forces grâce à la deuxième loi de Newton.
Pourquoi c'est important. C'est l'outil central de toute la mécanique de Terminale : chute libre, satellites, mouvements dans un champ… tout repose sur cette loi.
Où on l'utilise. Freinage d'une voiture, décollage d'une fusée, lancer d'un ballon, étude d'un ascenseur.
- Définir les vecteurs vitesse et accélération comme dérivées.
- Utiliser le repère de Frenet pour un mouvement circulaire.
- Énoncer et appliquer la deuxième loi de Newton.
- Déduire l'accélération à partir d'un bilan des forces.
2Chapitre complet
1. Référentiel et vecteur position
Un mouvement se décrit toujours par rapport à un référentiel (un objet de référence muni d'un repère et d'une horloge). On repère le point M par son vecteur position OM = x·i + y·j + z·k.
Référentiels usuels
Terrestre (mouvements au sol), géocentrique (satellites de la Terre), héliocentrique (planètes).
2. Vitesse et accélération : des dérivées
La vitesse indique comment la position change au cours du temps ; l'accélération indique comment la vitesse change. Mathématiquement, chacune est la dérivée de la précédente.
OM(t) ──dérivée──▶ v(t) = dOMdt ──dérivée──▶ a(t) = dvdt
En coordonnées : vₓ = dx/dt et aₓ = dvₓ/dt (de même selon y et z).
À comprendre
Un mouvement à vitesse de valeur constante peut être accéléré : si la direction de la vitesse change (virage), le vecteur vitesse change, donc a ≠ 0.
3. Mouvements particuliers
Dans un mouvement circulaire uniforme, le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire et l'accélération est centripète : aₙ = v²/r, dirigée vers le centre.
- Rectiligne uniforme : v constant, a = 0.
- Rectiligne uniformément varié : a constant et colinéaire à la trajectoire.
- Circulaire uniforme : v constante en valeur, a dirigé vers le centre.
Pour un mouvement circulaire, on utilise le repère de Frenet (ut tangent, un vers le centre) : a = (dv/dt)·ut + (v²/R)·un.
4. La deuxième loi de Newton
Dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures appliquées à un système de masse constante est égale au produit de sa masse par son accélération.
ΣFext = m · a
Le lien forces ↔ mouvement
Les forces ne donnent pas directement la vitesse : elles donnent l'accélération. Il faut ensuite intégrer pour obtenir vitesse puis position.
Cas particulier : si ΣF = 0, alors a = 0, le mouvement est rectiligne uniforme ou le système est immobile (principe d'inertie).
3Définitions importantes
- Référentiel galiléen
- Référentiel dans lequel le principe d'inertie est vérifié (le référentiel terrestre l'est approximativement pour des mouvements courts).
- Vecteur vitesse
- Dérivée du vecteur position par rapport au temps.
- Vecteur accélération
- Dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps.
- Système
- Objet ou ensemble d'objets dont on étudie le mouvement.
4Formules à connaître
Deuxième loi de Newton
ΣFext = m · a
| ΣFext | somme des forces extérieures | N |
| m | masse du système | kg |
| a | accélération du centre de masse | m·s⁻² |
Quand l'utiliser : Relier les forces au mouvement, puis trouver l'accélération.
Conditions : Référentiel galiléen, masse constante.
Vitesse et accélération
v = dOMdt ; a = dvdt
| OM | vecteur position | m |
| v | vecteur vitesse | m·s⁻¹ |
| t | temps | s |
Quand l'utiliser : Passer des équations horaires à la vitesse et à l'accélération (ou l'inverse par intégration).
Accélération normale (circulaire)
an = v²R
| v | vitesse | m·s⁻¹ |
| R | rayon de la trajectoire | m |
Quand l'utiliser : Mouvement circulaire, notamment uniforme.
5Méthodes à connaître
Appliquer la deuxième loi de Newton
- Définir le système.
- Choisir un référentiel supposé galiléen.
- Faire le bilan des forces extérieures (schéma !).
- Écrire ΣF = m·a.
- Projeter sur les axes du repère.
- En déduire les coordonnées de a.
- Intégrer pour obtenir v(t) puis OM(t) avec les conditions initiales.
- Vérifier les unités et conclure.
6Exemple guidé
Une voiture de masse 1 200 kg roule en ligne droite. Le moteur exerce une force motrice horizontale de 3 000 N et les frottements valent 600 N.
Données
- m = 1 200 kg
- Fmotrice = 3 000 N
- f = 600 N
- Route horizontale
Ce qu'on cherche
Raisonnement
- Système : la voiture, référentiel terrestre supposé galiléen.
- Forces : poids P, réaction R (verticales, se compensent), force motrice F, frottements f (horizontales opposées).
- On projette la deuxième loi de Newton sur l'axe horizontal orienté dans le sens du mouvement.
Formules utilisées
Calculs
aₓ = (F − f) / m = (3 000 − 600) / 1 200
aₓ = 2,0 m·s⁻²
Résultat
Conclusion
La méthode à retenir
7⚠️ Les erreurs à éviter
✗ Croire que la force est dans le sens de la vitesse.
Pourquoi : La force est liée à l'accélération, pas à la vitesse.
✓ Lors d'un freinage, ΣF est opposée à v.
✗ Oublier une force dans le bilan.
Pourquoi : Le résultat de a sera faux.
✓ Penser systématiquement : poids, actions de contact, frottements, forces à distance.
✗ Oublier les conditions initiales en intégrant.
Pourquoi : Une primitive est définie à une constante près.
✓ Utiliser v(0) et OM(0) pour fixer les constantes.
8À retenir
Notions essentielles
- • v = dérivée de OM ; a = dérivée de v
- • Les forces déterminent l'accélération
- • Repère de Frenet pour le circulaire
Formules
- • ΣF = m·a
- • a_n = v²/R
Unités
- • N, kg, m·s⁻², m·s⁻¹
Méthodes
- • Système → référentiel → forces → Newton → projection → intégration