Chapitre 8 — Décrire un mouvement
Référentiel, trajectoire, vecteur vitesse et variation du vecteur vitesse.
Progression du chapitre
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1Introduction
Ce que tu vas apprendre. Décrire le mouvement d'un système : choisir un référentiel, tracer une trajectoire, construire des vecteurs vitesse et leur variation à partir d'une chronophotographie.
Pourquoi c'est important. Avant d'expliquer pourquoi un objet bouge, il faut savoir décrire précisément comment il bouge. Le vecteur vitesse est l'outil de base de toute la mécanique de Première et de Terminale.
Où on l'utilise. Analyse vidéo d'un lancer, sécurité routière (vitesse, freinage), suivi GPS, sport (sprint, saut en longueur).
- Choisir un référentiel adapté et décrire une trajectoire
- Calculer une vitesse moyenne et une vitesse instantanée approchée
- Construire un vecteur vitesse à l'échelle sur une chronophotographie
- Construire le vecteur variation de vitesse Δv⃗
2Chapitre complet
Système, référentiel et trajectoire
On étudie un système (l'objet qui nous intéresse), souvent modélisé par un point matériel M. Son mouvement n'a de sens que par rapport à un référentiel : un objet de référence muni d'un repère d'espace et d'une horloge.
Les référentiels usuels : terrestre (le sol, pour les mouvements de la vie courante), géocentrique (centre de la Terre, pour les satellites), héliocentrique (centre du Soleil, pour les planètes).
La trajectoire est l'ensemble des positions successives occupées par le point. Elle peut être rectiligne, circulaire ou curviligne.
Relativité du mouvement
On ne dit jamais « l'objet bouge » sans préciser « par rapport à quoi ». Trajectoire et vitesse dépendent toutes deux du référentiel.
Vecteur position et vecteur vitesse
Dans un repère (O ; x, y), la position de M est repérée par le vecteur position OM⃗ de coordonnées (x ; y), en mètres (m).
Le vecteur vitesse v⃗ au point Mᵢ est approché par v⃗ᵢ ≈ MᵢMᵢ₊₁⃗ / Δt, où Δt est la durée entre deux positions successives. Ses caractéristiques : direction tangente à la trajectoire, sens du mouvement, valeur v en m·s⁻¹.
v⃗ᵢ ≈ MᵢMᵢ₊₁⃗Δt
direction : tangente à la trajectoire
sens : celui du mouvement
valeur : vᵢ = MᵢMᵢ₊₁Δt (m·s⁻¹)
Conversion indispensable
1 m·s⁻¹ = 3,6 km·h⁻¹. Pour passer des km/h aux m/s on divise par 3,6 ; dans l'autre sens on multiplie par 3,6.
Construire un vecteur vitesse sur une chronophotographie
Positions prises à intervalles réguliers τ : chaque vecteur part du point, tangent à la trajectoire, de longueur proportionnelle à v.
Une chronophotographie montre les positions M₀, M₁, M₂... prises à intervalles de temps réguliers τ. On mesure la distance MᵢMᵢ₊₁ sur la photo, on la convertit avec l'échelle des longueurs, puis on divise par τ.
On trace ensuite une flèche partant de Mᵢ, de direction MᵢMᵢ₊₁, dont la longueur respecte une échelle des vitesses choisie (par ex. 1 cm ↔ 1 m·s⁻¹).
- Positions équidistantes sur une droite → mouvement rectiligne uniforme
- Écarts croissants → mouvement accéléré
- Écarts décroissants → mouvement ralenti (décéléré)
Le vecteur variation de vitesse Δv⃗
Entre deux points voisins, la vitesse change : on définit Δv⃗ᵢ = v⃗ᵢ₊₁ − v⃗ᵢ. On le construit graphiquement en reportant v⃗ᵢ₊₁ et −v⃗ᵢ bout à bout (ou en traçant les deux vecteurs depuis le même point).
Si Δv⃗ = 0⃗, la vitesse est constante en valeur ET en direction : le mouvement est rectiligne uniforme. Sinon, quelque chose modifie le mouvement… c'est le rôle des forces (chapitre 10).
Mouvement circulaire uniforme
Même si la valeur v est constante, la direction de v⃗ change : Δv⃗ ≠ 0⃗. Il est orienté vers le centre du cercle.
3Définitions importantes
- Système
- Objet ou ensemble d'objets dont on étudie le mouvement, souvent modélisé par un point.
- Référentiel
- Objet de référence par rapport auquel on décrit le mouvement, muni d'un repère et d'une horloge.
- Trajectoire
- Ensemble des positions successives occupées par le point au cours du temps.
- Vecteur position
- Vecteur OM⃗ reliant l'origine du repère au point M ; coordonnées en mètres.
- Vecteur vitesse
- Vecteur tangent à la trajectoire, orienté dans le sens du mouvement, de valeur v en m·s⁻¹.
- Mouvement uniforme
- Mouvement dont la valeur de la vitesse reste constante.
- Mouvement rectiligne uniforme
- Trajectoire droite et vitesse constante : le vecteur vitesse est constant.
- Variation de vitesse Δv⃗
- Différence v⃗ᵢ₊₁ − v⃗ᵢ entre deux vecteurs vitesse successifs, en m·s⁻¹.
4Formules à connaître
Vitesse moyenne
v = dΔt
| v | vitesse moyenne | m·s⁻¹ |
| d | distance parcourue | m |
| Δt | durée du parcours | s |
Quand l'utiliser : Pour un trajet entier, sans s'intéresser aux détails.
Exemple : 100 m en 9,58 s : v = 100 / 9,58 = 10,4 m·s⁻¹ ≈ 37,6 km·h⁻¹.
Vitesse instantanée approchée
vᵢ = MᵢMᵢ₊₁τ
| vᵢ | vitesse au point Mᵢ | m·s⁻¹ |
| MᵢMᵢ₊₁ | distance réelle entre deux positions | m |
| τ | intervalle entre deux images | s |
Quand l'utiliser : Sur une chronophotographie ou un pointage vidéo.
Conditions : τ doit être petit devant la durée du mouvement.
Variation du vecteur vitesse
Δv⃗ᵢ = v⃗ᵢ₊₁ − v⃗ᵢ
| Δv⃗ᵢ | variation du vecteur vitesse | m·s⁻¹ |
| v⃗ᵢ, v⃗ᵢ₊₁ | vecteurs vitesse successifs | m·s⁻¹ |
Quand l'utiliser : Pour savoir si le mouvement est modifié et dans quelle direction.
Conversion de vitesse
v(km·h⁻¹) = 3,6 × v(m·s⁻¹)
| 3,6 | 3600 s / 1000 m | — |
Quand l'utiliser : Dès qu'une vitesse est donnée en km/h dans un énoncé.
Exemple : 90 km·h⁻¹ = 90 / 3,6 = 25 m·s⁻¹.
5Méthodes à connaître
Construire un vecteur vitesse
- Mesurer MᵢMᵢ₊₁ sur le document (en cm)
- Convertir en distance réelle avec l'échelle des longueurs (en m)
- Calculer vᵢ = MᵢMᵢ₊₁ / τ (τ en s)
- Choisir une échelle des vitesses et calculer la longueur de la flèche
- Tracer la flèche depuis Mᵢ, dans la direction de Mᵢ vers Mᵢ₊₁
Construire Δv⃗
- Tracer v⃗ᵢ et v⃗ᵢ₊₁ à la même échelle
- Reproduire les deux vecteurs depuis un même point
- Δv⃗ va de l'extrémité de v⃗ᵢ vers l'extrémité de v⃗ᵢ₊₁
- Mesurer sa longueur et la convertir avec l'échelle des vitesses
6Exemple guidé
Un skateur est filmé ; sur le pointage, τ = 0,20 s. On mesure sur l'écran M₂M₃ = 1,6 cm et M₃M₄ = 2,0 cm, avec l'échelle 1 cm ↔ 0,50 m. Calculer v₂ et v₃, puis conclure sur la nature du mouvement.
Données
- τ = 0,20 s
- M₂M₃ = 1,6 cm à l'écran
- M₃M₄ = 2,0 cm à l'écran
- Échelle : 1 cm ↔ 0,50 m
Ce qu'on cherche
Raisonnement
- Convertir chaque distance en mètres réels
- Diviser par τ
- Comparer les deux valeurs
Formules utilisées
Calculs
M₂M₃ réel = 1,6 × 0,50 = 0,80 m
v₂ = 0,80 / 0,20 = 4,0 m·s⁻¹
M₃M₄ réel = 2,0 × 0,50 = 1,0 m
v₃ = 1,0 / 0,20 = 5,0 m·s⁻¹
Résultat
Conclusion
La méthode à retenir
7⚠️ Les erreurs à éviter
✗ Oublier de préciser le référentiel
Pourquoi : La trajectoire et la vitesse en dépendent.
✓ Commencer chaque étude par « Dans le référentiel terrestre… ».
✗ Utiliser la distance mesurée sur la photo sans l'échelle
Pourquoi : Le résultat est faux d'un facteur important.
✓ Convertir avec l'échelle des longueurs avant tout calcul.
✗ Laisser τ en millisecondes
Pourquoi : La vitesse obtenue n'est pas en m·s⁻¹.
✓ 40 ms = 0,040 s.
✗ Penser qu'un mouvement circulaire uniforme a Δv⃗ = 0⃗
Pourquoi : La direction de v⃗ change à chaque instant.
✓ Δv⃗ = 0⃗ uniquement pour un mouvement rectiligne uniforme.
8À retenir
Notions essentielles
- • Mouvement relatif au référentiel
- • v⃗ tangent à la trajectoire
- • Δv⃗ = 0⃗ ⇔ mouvement rectiligne uniforme
Formules
- • v = d / Δt
- • vᵢ = MᵢMᵢ₊₁ / τ
- • Δv⃗ = v⃗ᵢ₊₁ − v⃗ᵢ
Unités
- • m, s, m·s⁻¹
- • 1 m·s⁻¹ = 3,6 km·h⁻¹
Méthodes
- • Construire v⃗ à l'échelle
- • Construire Δv⃗ graphiquement