Établir la vitesse d'un satellite en orbite circulaire et la troisième loi de Kepler
1.Objectif
Montrer que le mouvement circulaire d'un satellite est uniforme, établir v = √(GM/r) puis T²/r³ = 4π²/(GM).
2.Prérequis
- Loi de la gravitation universelle
- Deuxième loi de Newton
- Repère de Frenet : an = v²/r, at = dv/dt
- Période : T = 2πr / v
3.Situation physique
Un satellite de masse m décrit une orbite circulaire de rayon r autour d'un astre de masse M (centre O), dans le référentiel astrocentrique supposé galiléen.
La force de gravitation est dirigée vers le centre de l'astre.
4.Démonstration étape par étape
Étape 1
Bilan des forces
Le satellite n'est soumis qu'à la force gravitationnelle de l'astre, dirigée vers O, donc selon le vecteur normal n⃗ du repère de Frenet.
Étape 2
Deuxième loi de Newton
On écrit ΣF⃗ = m·a⃗ et on identifie les composantes dans le repère de Frenet.
Étape 3
Mouvement uniforme
La composante tangentielle est nulle : la norme de la vitesse ne varie pas.
Étape 4
Vitesse orbitale
La composante normale donne v en simplifiant par m et par r.
Étape 5
Troisième loi de Kepler
Pendant une période, le satellite parcourt le périmètre 2πr. On remplace v par 2πr/T.
5.Interprétation physique
Plus le satellite est loin, plus il est lent et plus sa période est longue. Le rapport T²/r³ ne dépend que de la masse de l'astre central, pas du satellite : il est le même pour tous les satellites d'un même astre.
6.Résultat final
7.Conditions de validité
- Orbite circulaire
- Référentiel astrocentrique (ou géocentrique) supposé galiléen
- Seule la force de l'astre central agit
- Astre à répartition de masse sphérique ; r mesuré depuis son centre
8.Erreurs fréquentes
- Prendre l'altitude h au lieu de r = R + h.
- Faire dépendre v de la masse du satellite.
- Oublier de convertir les km en m.
- Écrire T/r³ ou T²/r² au lieu de T²/r³.
9.À retenir
- ✓ Mouvement circulaire ⇒ uniforme (at = 0).
- ✓ v = √(GM/r), indépendante de m.
- ✓ T²/r³ = 4π²/(GM).
10.Mini-vérification
Pourquoi le mouvement est-il uniforme ?
La force est selon n⃗ : la composante tangentielle de a⃗ est nulle, donc dv/dt = 0.
Que vaut r pour un satellite à l'altitude h ?
r = Rastre + h.
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Voir les exercicesSources : Programme officiel de Terminale spécialité Physique-Chimie (Éduscol). Contenu reformulé pour Phylo.