Retrouver la solution uC(t) = E(1 − e−t/τ) et le sens de τ
1.Objectif
Vérifier que uC(t) = E(1 − e−t/τ) est solution de l'équation de charge et interpréter τ.
2.Prérequis
- Équation duC/dt + uC/τ = E/τ
- Dérivée de e−t/τ : −(1/τ)·e−t/τ
- Condition initiale uC(0) = 0
3.Situation physique
Le condensateur est initialement déchargé et se charge sous la tension E à travers R. On cherche l'expression de uC(t).
4.Démonstration étape par étape
Étape 1
Forme de la solution
Pour une équation duC/dt + uC/τ = constante, la solution est la somme d'une exponentielle et d'une constante.
Étape 2
Constante B
En remplaçant dans l'équation, les termes en exponentielle se compensent : il reste B/τ = E/τ.
Étape 3
Constante A
Le condensateur est déchargé à t = 0, et la tension à ses bornes est continue.
Étape 4
Valeur à t = τ
On calcule uC(τ) pour donner un sens concret à τ.
5.Interprétation physique
τ est la durée au bout de laquelle le condensateur atteint 63 % de sa charge finale. Après environ 5τ, uC dépasse 99 % de E : on considère la charge terminée.
6.Résultat final
7.Conditions de validité
- Condensateur initialement déchargé
- Tension E constante à partir de t = 0
8.Erreurs fréquentes
- Écrire e−tτ au lieu de e−t/τ.
- Lire τ à 37 % de E sur une courbe de charge (c'est pour la décharge).
- Oublier la condition initiale pour déterminer A.
9.À retenir
- ✓ Solution = exponentielle + constante.
- ✓ τ : 63 % de la valeur finale.
- ✓ Régime permanent après ≈ 5τ.
10.Mini-vérification
Que vaut uC quand t tend vers l'infini ?
E.
Comment lire τ sur la courbe de charge ?
Abscisse du point où uC = 0,63 E (ou intersection de la tangente à l'origine avec uC = E).
Exercices associés
10 exercices corrigés du chapitre 20 pour t'entraîner.
Voir les exercicesSources : Programme officiel de Terminale spécialité Physique-Chimie (Éduscol). Contenu reformulé pour Phylo.