Établir l'équation différentielle de la charge d'un condensateur (circuit RC)
1.Objectif
Obtenir l'équation vérifiée par la tension uC(t) aux bornes d'un condensateur qui se charge à travers une résistance R sous une tension constante E.
2.Prérequis
- Loi des mailles
- Loi d'Ohm : uR = R·i
- Relation q = C·uC
- Intensité : i = dq/dt
3.Situation physique
Un générateur idéal de tension constante E, un conducteur ohmique R et un condensateur de capacité C (initialement déchargé) sont en série. À t = 0, on ferme l'interrupteur. On oriente le courant i dans le sens de charge, en convention récepteur pour R et C.
τ = R·C = 0,221 s · condensateur chargé à 99 % après 5τ = 1,10 s.
uC(t) tend vers E ; τ = RC est atteint quand uC = 0,63 E.
4.Démonstration étape par étape
Étape 1
Loi des mailles
Les trois dipôles sont en série : la tension du générateur se répartit entre la résistance et le condensateur. C'est la relation de départ qui relie les grandeurs du circuit.
Étape 2
Loi d'Ohm
On exprime uR avec l'intensité, en convention récepteur, pour faire apparaître le courant qui charge le condensateur.
Étape 3
Lien entre courant et charge
Le courant est le débit de charge qui arrive sur l'armature : i = dq/dt. Avec q = C·uC et C constante, on peut tout écrire avec uC seule.
Étape 4
Équation différentielle
On remplace i dans la loi des mailles, puis on divise par RC pour obtenir la forme usuelle et faire apparaître τ = RC.
5.Interprétation physique
Plus uC se rapproche de E, plus la tension aux bornes de R diminue, donc plus le courant et la vitesse de charge diminuent : la charge ralentit d'elle-même. Le produit RC fixe l'échelle de temps du phénomène.
6.Résultat final
7.Conditions de validité
- Générateur idéal de tension constante E
- R et C constants
- Orientation du courant dans le sens de la charge (convention récepteur pour R et C)
8.Erreurs fréquentes
- Oublier que dq/dt = C·duC/dt suppose C constante.
- Se tromper de signe à cause d'une orientation incohérente de i.
- Croire que τ s'exprime en Ω·F « sans unité » : Ω·F = s.
9.À retenir
- ✓ Loi des mailles + loi d'Ohm + i = C·duC/dt.
- ✓ Forme : duC/dt + uC/τ = E/τ.
- ✓ τ = RC, en secondes.
10.Mini-vérification
Quelle loi utilise-t-on à l'étape 1 ?
La loi des mailles : E = uR + uC.
Pourquoi peut-on écrire dq/dt = C·duC/dt ?
Parce que la capacité C est constante.
Quelle est l'unité de RC ?
La seconde (Ω·F = s).
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Voir les exercicesSources : Programme officiel de Terminale spécialité Physique-Chimie (Éduscol). Contenu reformulé pour Phylo.