Physique-ChimieTerminale🧪 Thème 1Chapitre 5Démonstration🔴 Essentiel

Établir la loi de décroissance radioactive et la demi-vie t₁/₂ = ln 2 / λ

1.Objectif

Passer de la loi d'évolution dN/dt = −λN à N(t) = N₀e^−λt, puis exprimer la demi-vie.

2.Prérequis

Le nombre de désintégrations par unité de temps est proportionnel à N
Solution de y' = −k·y
Propriété ln(e^x) = x

3.Situation physique

Un échantillon contient N₀ noyaux radioactifs à t = 0. Chaque noyau a la même probabilité par unité de temps de se désintégrer, notée λ (constante radioactive, en s⁻¹).

Décroissance radioactive

Durée écoulée : 1,00 t₁/₂

Noyaux restants : N = N₀ × 2^(−t/t₁/₂) = 50,0 % de N₀. Les points vides représentent des noyaux désintégrés : on ne peut pas prévoir lesquels, seulement la proportion.

Toutes les t₁/₂, le nombre de noyaux restants est divisé par 2.

4.Démonstration étape par étape

Étape 1

Loi d'évolution

Pendant dt, le nombre de noyaux qui se désintègrent est proportionnel au nombre de noyaux présents : N diminue d'autant plus vite qu'il est grand.

dNdt = −λ·N

Étape 2

Résolution

C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre sans second membre ; ses solutions sont des exponentielles décroissantes.

N(t) = C·e^−λt

N(0) = C = N₀

Étape 3

Demi-vie

Par définition, à t = t₁/₂ il reste la moitié des noyaux. N₀ se simplifie.

N₀·e^{−λ·t₁/₂} = N₀/2

e^{−λ·t₁/₂} = 12

Étape 4

Expression de t₁/₂

On applique le logarithme népérien, avec ln(1/2) = −ln 2.

−λ·t₁/₂ = −ln 2

t₁/₂ = ln 2λ

5.Interprétation physique

La demi-vie ne dépend pas du nombre initial de noyaux : un échantillon met toujours la même durée pour perdre la moitié de ses noyaux. La désintégration est aléatoire pour un noyau, mais prévisible statistiquement pour un très grand nombre.

6.Résultat final

N(t) = N₀·e^−λt

t₁/₂ = ln 2λ

Activité : A(t) = λ·N(t) = A₀·e^−λt

7.Conditions de validité

Très grand nombre de noyaux (loi statistique)
Un seul type de noyau radioactif, non réalimenté

8.Erreurs fréquentes

Penser qu'au bout de 2t₁/₂ il ne reste rien (il reste N₀/4).
Mélanger les unités de λ et de t.
Écrire t₁/₂ = λ / ln 2.

9.À retenir

✓ dN/dt = −λN ⇒ N = N₀e^−λt.
✓ t₁/₂ = ln 2 / λ, indépendante de N₀.
✓ Après n demi-vies : N₀ / 2ⁿ.

10.Mini-vérification

Quelle est l'unité de λ ?

s⁻¹ (ou l'inverse de l'unité de temps utilisée).

Combien reste-t-il de noyaux après 3 t₁/₂ ?

N₀/8.

Exercices associés

10 exercices corrigés du chapitre 5 pour t'entraîner.

Voir les exercices

Sources : Programme officiel de Terminale spécialité Physique-Chimie (Éduscol). Contenu reformulé pour Phylo.